规则几何特征的识别

在近景摄影测量中，求出相机的内外参数以及物体上的标志点的空间坐标后，就可以对物体上的规则几何特征进行测量。对于规则的几何特征，无法用离散点的拓扑连接来表示，需要参数化的模型表达方式。建模的实际实现用面向对象的建模方法，对象的属性对应模型几何参数和空间位置参数。

基于影像的重建最大的特点就是将影像特征与空间位置联系起来，通常采用最小二乘影像匹配法将模型与影像特征进行匹配来对特征的几何参数和空间位置进行重建，这种方法需要有特征的初始参数来支持，否则很难实现。在摄影测量中，世界坐标系是在程序计算过程中建立的，对于这些规则特征来说，我们可能得到其大概的尺寸，但是却无法得到其位置信息，所以无法采用上述的方法来对这些特征进行识别。为了在摄影测量中实现规则几何特征的识别，本文提出了一种新的方法，从图像中提取特征在图像中的投影曲线，利用提取的特征点计算投影曲线的参数和特征的三维参数的初始值，然后利用所有图像上的二维曲线的参数和特征的三维参数的初始值，通过广义共线方程迭代求解物体上的几何特征的三维参数。

特征元素包括物体上的圆孔、矩形孔、槽孔、边界线等规则的几何特征，如图 51所示。这些特征在图像中都有较为明显的边缘，可以通过二维灰度图像中对比度较大的线来定义。这些特征可以用一个特定平面上的二维曲线来表示。本文中所述的特征元素都在物体上的一个平面上，为了对其进行识别，需要在特征的周围贴上至少三个标志点来确定该特征所在的平面。

(a) 圆孔特征                          (b) 矩形孔特征

图 5-1   特征元素举例

在这些特征元素中，有两个最基本的元素——圆和直线段，其他的特征都可以由这两种通过一定的约束条件组合而成。例如，矩形孔特征可以看做是同一个平面上的两对相互垂直的直线段所构成的，槽孔是由两个半圆和一对平行的直线段构成。本章将对圆和直线段这两个基本特征的识别进行讨论。

5.4 特征物方模型

5.4.1 特征平面坐标系

我们所要计算的特征是基于特征所在的平面的，为了得到特征的物方模型，首先要得到特征在特征平面上的二维模型，然后通过二维模型得到其物方模型。这就需要以该特征平面为基础建立一个新的坐标系，使的该平面上的点在这个坐标系下有一个方向上的坐标是相同的，我们设定这个方向为Z向，则需要建立一个以该特征平面的法向为Z轴的坐标系，可以通过对世界坐标系的旋转来得到。

设用标志点建立的平面为：
                                               (5-1)

式中(n0,n1,n2)为平面的法向向量，n3为平面方程中的常数项，(X,Y,Z)为三维点的坐标。
设该坐标系与世界坐标系之间的旋转角度为φ’、ω’和κ’，其中φ’角与ω’角可通过下式计算：
                                     (5-2)
κ’角的大小并不影响其参数，可以取零，则由平面坐标向世界坐标的旋转矩阵为：
                (5-3)

5.4.2 特征物方模型

1）空间圆的物方模型

有了特征平面，空间圆就只有四个自由度——空间圆的圆心坐标(X0, Y0, Z0)以及其半径 。以空间圆的圆心为坐标系原点，特征平面的法向为Z轴建立坐标系，则该坐标系与世界坐标系之间的平移矩阵为T’=[X0 Y0 Z0]T，旋转矩阵如式(5-3)所示。在所建立的坐标系下，圆上的任意一点在空间圆坐标系下的坐标为(Rcosθ, Rsinθ,0)，由此可得到空间圆的物方模型为：
                          (5-4)

2）三维直线段的物方模型

在平面坐标系上，直线段可以用该直线段上的一个点和该直线段与X轴的夹角来表示：
                                                      (5-5)

有特征平面作为基础，就可以按照二维直线段方法来建立三维直线段的物方模型。假设所求三维直线段通过点(X1, Y1, Z1)，以该点为坐标系原点，以特征平面的法向为Z轴建立坐标系，则该坐标系与世界坐标系之间的平移矩阵为T’=[X1 Y1 Z1]T，旋转矩阵如式(5-3)所示。设该直线段与所建立的坐标系的X轴的夹角为α，则该直线段上任意一点在这个坐标系下的坐标为(tcosα, tsinα,0)，由此可得到三维直线段的物方模型为：

                         (5-6)

5.5 特征参数初值的求解

5.5.1 特征点三维坐标的求解

为了求得特征的初始参数，我们需要得到特征边缘上点的坐标，也就是从图像中提取到的边缘点对应的物方点的坐标，但是从图像中提取出的边缘点很多，点与点之间的距离很小，无法对不同图片上得到的边缘点进行精确的匹配，也就不可能依此来计算这些点对应的物方点的坐标。我们所求的特征是在特征平面上的，所以特征上的点肯定在特征平面上，为了求得特征的初始参数，将从图像中所提取的特征的边缘点投影到特征平面，就可得到这些像点所对应的物方点的坐标，然后通过这些点求得特征的初始物方参数。

设从一幅图像中提取到的一个边缘点在其相机坐标系下的归一化坐标为(x, y, 1)，其对应物方点的坐标为X=(X, Y, Z)，该图像对应的相机的旋转矩阵和平移矩阵为：
，                                            (5-7)
因为点X= (X, Y, Z)应该在特征片面上，有：
                                                (5-8)
再由4.3节中式(4-7)可得：
                       (5-9)
按照4.3节中所述，可以用下式求得该物方点的坐标为：
                                                   (5-10)
式(5-10)中：
，

5.5.2 空间圆初始参数的求解

对于圆孔特征，在将图像上的特征点对应的物体点坐标求出之后，就可以用这些物体点以及圆的定义通过最小二乘法求得其初始参数。

设圆的圆心为(X0, Y0, Z0)，半径为R，从图像上提取到的特征点个数为n，求得的物体点的坐标为(xi, yi, zi)，i=1,•••,n，依据最小二乘原理，应以求目标函数
                           (5-11)
的最小值来求解圆的几个参数。
因为空间圆的圆心在特征平面上，所以有：
                                             (5-12)
将式(5-12)代入式(5-11)有：
              (5-13)
将式(5-13)中括号中的部分展开有：
              (5-14)
                                  (5-15)
由此可将式(5-11)变换为：
   (5-16)
上式分别对X0、Y0、A求偏导有：
    (5-17)
      (5-18)
           (5-19)
有偏导为零可以得到如下的方程组：
                                             (5-20)
其中：
，

，                                 
求解方程组(5-20)就可以求得X0、Y0以及A，然后通过式(5-12)和式(5-15)求得Z0和半径R。

5.5.3 空间直线段初始参数的求解

空间直线段初始参数的求解不能像求解空间圆初始参数那样的方法。在得到图像上的特征点对应的物方点的坐标后，要将这些点转换到以特征平面的法向为Z轴的坐标系下，在该坐标系下，这些点的Z坐标值都是相同的，我们可把该直线段当作二维直线段来进行求解。

首先要对物方点的坐标进行转换，假设物方点的坐标为M=[X Y Z]T，转换后的坐标为M’=[X’ Y’ Z’]T，则有：
                                                       (5-21)

其中为以特征平面为基准建立的坐标系到世界坐标系的旋转矩阵，如式(5-3)。

特征平面上的点在该坐标系下的Z坐标值都是相同的，用这些点的X、Y坐标值进行二维直线段的拟合，可以求得该直线段与该坐标系的X轴的夹角，也就是式(5-6)中的角α，所求得的这些物方点的坐标的均值可以作为式(5-6)中的点(X1, Y1, Z1)的值，这样就得到了空间直线段的初始参数及其初始的物方模型。

5.6 特征参数精确值的求解

5.6.1 特征与其投影曲线之间的关系式

得到特征的初始参数以及特征在图像上的投影曲线的曲线参数之后，就可以进行特征的重建，得到精确的特征参数。特征初始参数的求解在5.5节已经叙述过了。特征在图像上的投影曲线的参数的求解用二维曲线的最小二乘拟合法就可以求出，如圆在图像中的投影曲线为椭圆，可以按照3.4.3节中所述的方法得到其参数；直线段在图像中的投影是二维的直线段，同样用最小二乘拟合法求出其参数。特征的重建的依据是特征上的点在图像上的投影点应该在其投影曲线上，由此我们通过共线方程可以建立起特征的物方模型与其投影曲线之间的关系。

将式(5-4)的物方模型代入式(2-5)的共线方程，可得到空间圆的广义共线方程：
                                                  (5-22)
其中：
                           
同样可得到空间直线段的广义共线方程，其形式如式(5-22)，式中：
                           
为了得到投影点的精确的图像坐标，还需要考虑到畸变参数的影响，按照4.5节所述求得所求点对应的径向畸变dxr和dyr、偏心畸变dxd和dyd以及像平面畸变dxm和dym，再加上内方位元素误差dxn和dyn，可以求得像点的系统误差：
                                             (5-23)
得到最终的像点坐标如下：
                                                    (5-24)
得到特征点对应像点的坐标之后，将像点的坐标带入到相应的曲线方程中，就可以得到特征与其投影曲线之间的关系式。
对于圆孔特征，其投影曲线为椭圆，设其椭圆参数为(xe,ye,a,b,θ)，则有：
                                                      (5-25)
其中，。
对于直线段特征，设其投影直线段的方程参数为(A,B,C)，则有：
                                                     (5-26)
式(5-25)和式(5-26)分别为圆孔特征与其投影曲线之间的关系式、直线段特征与其投影曲线之间的关系式。

实际上，由于开始所用的是特征参数的初值，另外还有误差的存在，式(5-25)和式(5-26)是不可能严格为零的，也就是特征点的投影点并不是严格的在其投影曲线上，而是存在一定的距离。因此我们可以按照如下思路求解特征参数的精确值，进行迭代求解，对于求得的特征参数，选择一定数量的点，分别像所有图片上投影，目标是使得这些投影点到相应的投影曲线的距离之和最小。

5.6.2 圆形特征参数的求解

对于圆孔特征，定义特征上的一点在图像上的投影点到其对应投影曲线上的归一化距离为：
                                          (5-27)
上式分别对X0、X0、X0和R求偏导得到 、 、 和 ，则有：
                                (5-28)
对应空间圆上的一个点和一幅图片就有一个方程，假设在空间圆上等间隔取m个点，有正确的椭圆参数的图片数为n，则可以得到n*m个方程。另外空间圆的中心应该在特征平面上，有：
                                 (5-29)
其中n0、n1、n2和n3为平面方程的四个参数。
由此，我们可以得到n*m+1个方程，从而可以得到如下的方程
                                                          (5-30)
式中L=[dX0 dY0 dZ0 dR]T，A为(n*m+1)×4的矩阵，由这些方程中左边的系数部分组成，B为(n*m+1)×1的矩阵，由这些方程右边部分组成。
由式(5-30)解得：
                                                   (5-31)
总的误差为：
                                                   (5-32)
将前面所求的圆孔参数的初值以及图片上的投影曲线的参数代入式(5-31)进行迭代求解，每迭代一次圆孔参数X0、Y0、Z0和R的改正数为dX0、dY0、dZ0和dR，有：
                                                  (5-33)
其中dX0 (n)、dY0(n)、dZ0(n)和dR(n)由式(5-31)求得。

经过数次迭代圆孔参数的改正数的平方和将会达到一个极小值，圆孔参数的值也就稳定下来，就是我们所求的圆孔参数的精确值。

5.6.3 直线段特征参数的求解

对于直线段特征，需要将直线段所通过的一点的三个坐标值其中的一个设置为定值，否则迭代过程是不收敛的，无法进行求解。假设我们将X向坐标设置为定值，其值为所求的初值X1，则只需要求解该直线段上X向坐标为X1的点的其他两个坐标值以及该直线段在以特征平面为基准所建立的坐标系中与其X轴的夹角即可。定义直线段特征上的一点在图像上的投影点到其对应投影曲线上的归一化距离为：

                                (5-34)
上式分别对、和求偏导得到、和，则有：
                             (5-35)

用所得的直线段上的点可以计算得直线段的大致长度，然后在直线段上等间隔取上m个点，将这些点投影到n幅包含有该直线段的投影直线段的图片上，得到n*m个方程。加上直线段上的点应该在特征平面上，有：
                                    (5-36)

最终得到如式(5-30)的方程，按照求解圆孔特征参数同样的方法，即可求得直线段的三维参数。

5.6.4 其他特征参数的求解

对于其他常见的规则几何特征，我们可以在圆形特征和直线段特征的基础上加上一定的约束条件，像求分段函数的表达式一样来求解其特征参数。

对于矩形孔特征，可以作为四条直线段来进行识别，其约束条件为：这四条直线段中是两对平行直线段，而且这两对平行直线段是互相垂直的，如图 5 3所示，其中l1‖l3、l2‖l4、l1⊥l2、l3⊥l2，另外在长度上，d1为直线段l1和l3的长度，也是直线段l2和l4之间的距离，d2为直线段l2和l4的长度，也是直线段l1和l3之间的距离，通过对这四条直线段的识别，再加上这些约束条件，就可以求得矩形孔的尺寸以及位置信息。

图 5 3   矩形孔特征的识别

图 5 4   槽形孔特征的识别

对于槽形孔特征，把它分成两条相互平行的直线段和两个半圆弧来进行识别，其约束条件除了两条直线段相互平行之外，两个半圆弧的直径长度为两条直线段之间的距离，两个半圆弧圆心之间的距离为直线段的长度，如图 5 4所示，其中l1‖l2，两个半圆弧半径相等，都是直线段l1和l2之间距离d2的一半，而这两个半圆弧的圆心c1和c2之间的距离和这两条直线段的长度相等，都是d1，两个圆心c1和c2之间的连线和l1以及l2平行。带上这些约束条件，分别对半圆弧和直线段进行识别，即可获得槽形孔的尺寸及位置信息。

5.7 本章小结

本章主要对物体上的规则几何特征的空间参数的求解进行了讨论，由于摄影测量的特点，我们无法得到特征的初始参数，为次提出了一种新的特征识别的方法，通过对图像中特征的投影曲线的提取，利用提取的图像点计算投影曲线的参数以及特征的初始参数，最后通过共线方程得到特征的物方模型与其投影曲线上之间的关系式，利用所求关系式进行特征的精确参数的求解。有关特征识别的实验将在第6章进行。