应变的计算方法

本章介绍了几种网格应变的计算方法，通过分析网格变形的特点及规律，将网格的变形分解为分别沿两个主应变的方向一次变形而得，从而通过欧拉法推导了有限应变解析的方网格应变计算方法，并把三维空间网格的每个网格作为线性孔斯曲面介绍了三维空间网格的应变计算方法。此外还介绍了工程应变、等效应变和厚度的计算。

4.2 基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法

根据有限应变的理论，不同的应力加载可以获得相同的应变结果。对于近似于平面应力状态的板材成形来说，每个单元体的应变主方向（除去因为位移造成的转动）在成形过程中保持不变。这样就可以将应变分成不同的加载阶段，利用真实应变的可叠加性，就可以推导出方网格变形的应变计算方法。

连续体的有限变形有两种表述方法。一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点，即以变形前的坐标作为自变量，这种方法称为拉格朗日法。另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，以及已变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法[48]。这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。

4.2.1 方网格内部的变形

设任意方向正方形网格内接于圆网格，将其变形过程分解为两个阶段，如图4-5所示。第一个阶段沿着X方向变形，Y方向保持不变；第二个阶段沿着Y方向变形，X方向保持不变，即应变主方向与坐标轴相平行。变形的结果使圆网格变形为椭圆，正方形网格变形为平行四边形（假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的）

(a)初始网格   (b)横向变形后的网格   (c)纵向变形后的网格

图4-5   基于有限应变的网格分解变形过程

4.2.2 应变主方向和真实应变的计算

对于方网格中心的应变，假设网格内部变形是均匀的，所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心，对角线把方网格划分成四个三角形。将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合，建立直角坐标系，如图4-6所示。

图4-6   以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统

根据欧拉方法，以变形之后的网格坐标来分析，将主应变方向定为坐标方向，设X方向为主应变的方向，Y方向为主应变的方向，两个方向分别有拉形比：

                               (4-20)

则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加：

                (4-21)

设变形前方网格边长为，为所取初始三角形的直角边长，则有：

取其中初始三角形，其变形后为，根据变形后的网格点坐标、、，得到变形后三角形边长为：

             (4-22)
沿两个主应变方向的拉形比为：
       

     (4-23)

已知：
              (4-24)

得：
                         (4-25)
由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向，进而可以求出主应变：
              (4-26)

根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小，就得到了方网格中心O点的真实应变值。由于进行多次计算，四边形的网格都得到了利用，平均之后，计算的精度得以提高，减小了误差。

4.2.3 网格点上的应变

以上应变的计算获得的都是方网格中心的应变值，对于网格点上的应变值，则三角形的三个顶点都要取网格点才能计算出网格点上的应变值。

图4-7中所示有9个网格点1~9构成四个网格四边形，A、B、C、D分别为四个网格的中心。通过四个网格（1、2、4、5），（2、3、5、6），（4、5、7、8）和（5、6、8、9）可以分别求出中心点A、B、C、D的应变值。那么网格点5的应变值的获得有下面

几种方法：

一种是利用（1、3、7、9）四个点构成的四边形利用上小节所述的方法进行计算，分别求出三角形（1、5、3），（1、5、7），（3、5、9），（7、5、9）的直角顶点5的应变值，然后再求平均值，从而获得主应变和主方向。如图4-8所示。

图4-7 网格点上应变的获得

图4-8 由斜侧方向点求网格点上应变        图4-9 由纵横方向点求网格点上应变

另一种方法就是利用（2、4、8、6）四个点构成的四边形同样利用上小节所述的方法进行计算，分别求出三角形（2、5、4），（2、5、6），（4、5、8），（8、5、6）的直角顶点5的应变值，然后再求平均值，从而获得主应变和主方向。如图4-9所示。

以上两种方法都仅利用了网格点5周围的4个网格点，而没有充分利用网格点5四周的8八个网格点，因此从计算精度上来说，前一种方法在45°方向上精度比较高，而后一种方法在90°方向上精度比较高。为了进一步提高计算精度，可以将以上两种方法结合起来，再一次进行平均，由此获得由某个网格点连同周围8个点计算出来的网格点应变值。?显然，这种方法所带来的问题就是需要的计算时间相应地要增加很多。

4.3 其它应变

4.3.1 工程应变

工程应变虽然不具有叠加性质，但它比较直观，在工程实际中应用广泛。

如图4-10所示，是材料的原始长度，是材料的伸长量。则工程应变为伸长量相对于原始长度的比值：

(4-27)

图4-10   材料伸长变形

真实应变是伸长比（拉形比）的自然对数，可以表示为：
                     (4-28)

因此可以由真实应变获得工程应变：

                     (4-29)

工程应变值如果为正，可以解释为伸长率，如果为负值，则为收缩率，而对于厚度工程应变，则可以解释为减薄率。对于拉延成形，材料变薄情况是最需要关注的，用减薄率来反映材料的变形就非常直观。

相应地，真实应变也可以表示为：
                   (4-30)

4.3.2 等效应变

等效应变也可以由真实最大主应变和最小主应变获得：
               (4-31)

4.3.3 厚向应变

由体积不变条件可以得到真实厚向应变：
                        (4-32)

材料的真实厚度可由真实应变获得：
                         (4-33)

4.3.4 增量应变

对于板材成形工序次数较多的零件，工序之间的应变变化也是需要关注的。从上一次工序到下一道工序之间的变形的增量应变的计算方法和平面应变的计算方法相似。但在这种情况下，网格已经发生了变形，原先变形的网格和再次变形的网格如图4-11所示。
   
图4-11 增量变形前后三角形网格的形状

文献[49]介绍一种通过坐标变换，将变形前后的三角形的某个边重合而获得的增量应变三角形节点计算方法：

有四个张量[50],[51]：
　　：变形梯度张量
　　：的转置
　　：柯西-格林变形张量
　　：拉格朗日应变张量

变形梯度张量F是从初始三角形的坐标到再次变形的三角形的线性变换，有：
                       (4-34)

为了简化，将初始三角形和变形后的三角形通过旋转是其中一个边和轴重合，则有，另有变形梯度张量F为：
                      (4-35)

柯西-格林变形张量可以表达为：
                      (4-36)

代入前式，有
                    (4-37)

则拉格朗日应变就可以通过柯西-格林变形张量计算获得：

其中是单位矩阵，拉格朗日应变可以以如下形式给出：
                     (4-38)
    有：
              (4-39)
真实应变则可表达为：
                       (4-40)
则主应变的方位角为：
                     (4-41)

4.3.5 厚度和曲率修正

应变可以通过节点之间的距离计算出来。初始的网格距离就是网格点之间的距离，而在两个节点之间的新的距离在以上的计算过程中都是当作直线来计算的的。实际上工件表面是有曲率的并且是变化的，因此对于曲率形状变化剧烈的工件，采用直线距离作为曲面上的距离所带的误差就比较大了。

同样，通过图像处理和三维重建的网格点都位于板料的表面，计算的仅仅是板料表面的应变值，而板料是有一定的厚度的，因此有必要进行厚度和曲率修正，文献[49]介绍了一种进行曲率和半径修正的方法为：当节点处曲率半径为，初始节点之间的距离为，厚度为，则修正的公式为：

              (4-42)

在应变分析实际应用中，为了获得比较高精度的测量结果或者为了准确地测量应变变化梯度较大的区域，如曲率半径比较小的区域，采用方法使用比较小直径的网格，能够获得更准确的结果。

4.4 三维空间网格的应变计算

前面的描述都是基于平面应变的假设基础上，实际上，在冲压后，工件的形状是三维立体的，印制在平面板料上网格经过变形后变成了三维空间立体网格。每个网格节点都具有三维坐标，网格应变的计算就必须考虑空间坐标的问题。

平面正方形网格经过变形后变成了空间网格，网格中心也从点变到了点。如图4-12所示（斜侧图）。

图4-12   平面正方形网格变形为空间网格

由于网格中心经过变形后不再是空间四边形的几何中心了，因此在计算网格应变时需要通过四个边长的变化确定网格中心点的坐标。为了简化计算，参照线性孔斯曲面的定义我们可以获得四点构成的曲面片的方程，从而求得变形后空间网格中心点的坐标。

4.4.1 线性Coons曲面

1964年S.A.Coons提出了一种曲面分片、拼合造型的思想，他用四条边界构造曲面片并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面[52]。

线性Coons曲面，也称之为简单曲面，是通过四条边界曲线构成的曲面。若给定四条边界曲线，，，，且。在向进行线性插值，得到直纹面为：
                  (4-43)

在向进行线性插值，得到直纹面为：
                  (4-44)
如图4-13所示：

图4-13   线性Coons曲面的生成

则用四条边界曲线构造的曲面可用矩阵形式表示为：
         (4-45)

4.4.2 基于线性Coons曲面的四点空间网格应变的计算

设：已知变形后空间网格四点的坐标为，，，，则可将变形后的空间网格看成四条边界曲线都是直线的线性Coons曲面。如图4-14所示。
     
图4-14   变形后的空间网格

根据线性Coons曲面的描述和网格区域内变形是均匀的假设前提，有变形后网格中心点坐标：
               (4-46)

根据4.1.3所述的方法就可以计算出点的应变值。

以三角形为例，有应变主方向矢量落在三角形所在的平面内，如图4-15所示：
   

图4-15 空间坐标三角形单元的计算
                     (4-47)
                     (4-48)
　　有：
                     (4-49)

同样，其他三角形可以得到相类似的结果。由于四个三角形不共面，根据每个三角形计算出来的主应变矢量方向分别落在各个三角形所在的平面内，而一点的主应变方向及大小是唯一的，因此，需要对应变主矢进行平均求取网格中心点的切向应变。但是由于考虑到计算精度和计算效率的问题，本文在实现时只计算一个三角形内部的应变。