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空间散乱点集三角剖分的研究


发布时间:2009年4月13日 7时59分

当前,三角网格剖分技术的应用十分广泛[1],多年来一直在有限元分析、计算流体力学、地球物理、科学计算可视化等工程应用领域发挥越来越重要的作用。近年来,三角网格剖分技术不断被应用到计算机视觉、模式识别、图像压缩、虚拟现实等领域。
早期的网格剖分主要是人工剖分,随着问题的规模和复杂性的不断扩大,人工剖分越来越无法满足要求。20世纪60年代末开始了网格自动剖分技术的研究,主要是矩形(二维)/正六面体网格剖分,三角网格自动剖分技术的研究起源于20世纪70年代,主要是为了满足航空、数学、地质等领域解决实际问题的需要。 20世纪80年代三角网格剖分在众多领域引起了广泛的关注,各国学者从不同领域需求出发对三角剖分进行深入的研究。
 曲面的三角剖分一般有两种方法,一种是将点投影到某一平面,运用平面的三角剖分算法完成剖分,这种方法将三维问题转化成平面问题,可称之为平面投影法;另一种是直接由三维点来构造剖分,称之为直接剖分法。
平面投影法
平面四点形成的凸四边形有两种划分形式:最小内角最大和最小权(即边的总长度最小化)。
对最小权三角剖分有贪心算法[2]、Z4-3[3]算法(周培德)-凸壳分层算法可以得到最小权剖分,是目前较好的算法。该算法由外向内分层计算点集的凸壳,对每一层凸多边形采用多边形三角剖分算法,直至全部完成,复杂度为O(n4/m4)(m为凸壳的层数)。
最小内角最大化原则形成的剖分即著名的Delaunay(德劳内)三角剖分(DT Triangulation),DT是最受关注也是应用最为广泛的一类,近几十年来该算法不断得到改进,以适应不同的应用。1972年,Lawson[4]第一次提出构造平面Delaunay三角化的著名算法-局部变换法(Local Transformation Algorithm),又称换边算法(Flipping Algorithm)。但是,将局部变换法向高维空间推广时碰到困难。1981年,英国Bath大学的Bowyer[5]和澳大利亚悉尼大学的Watson分别给出了一种构造d维空间点集的DT的Bowyer/Watson算法。1991年,Joe[6]证明了将不属于点集的点P加入到点集的Delaunay三角化中,通过一系列换面操作,能够得到行的点集的Delaunay三角化,这就是目前构造Delaunay三角化的多种增量算法的理论基础。随着研究的深入,带权的Delaunay三角化吸引许多学者研究,Aurenhammer于1987年将二维空间中的带权Voronoi图拓展到d维空间,并研究了d维空间的带权Voronoi图和d+1维空间的凸包之间的关系,给出了相应的算法。Edelsbruner和Shah给出了采用局部变换法构造d维空间点集的带权Delaunay三角化算法。2001年,吴壮志[7]在他的博士论文里分析了点集的带权Delaunay三角化的性质、算法,并成功的将带权Delaunay三角化用于曲线的重构。随着研究对象的难度不断增大,对具有复杂边界的区域三角剖分的研究也开始展开,1989年Chew[8]首次提出Delaunay Refinement算法,成为目前普遍采用的限定Delaunay三角剖分算法,也就是著名边界(二维)/边界面(三维)细分算法,其后Ruppert[9]、徐永安[10]、杨钦[11]、Shewchuk[12]和李海生[13]等人对边界/边界面细分算法进行不断的改进和完善,在生成网格质量和算法的效率上取得了更好的效果。但是,边界的一致性和稳定性制约了Delaunay三角剖分的进一步推广。
直接剖分法
直接剖分法是直接根据三维散乱点构造三角剖分。实用的直接剖分很少,1988年Choi[14]提出的一种增量算法是较好的一种方法,得到广泛的应用。该算法先要对散乱数据点进行空间排序,而且三角划分算法有一个必要条件,即必须能从空间散乱数据点中找到一个点Pc,点Pc能观察到曲面上所有的数据点。然而,在复杂曲面中Pc点往往不存在。同时,这种算法无法处理凹边界和内孔的情形。Canvendish JC于1985年提出一种网格剖分方法-波前法,该方法先找出边界点,然后向外扩张,但该方法计算量大,尽管后来LOSH做了改进,但只是适合简单的单值曲面,对于复杂的多值曲面处理起来比较困难。2002年,西北工业大学的肖双九[15]博士采用波前法思想,完成了多连通复杂曲面的3D划分,并获得较好的网格质量。
纵观三角剖分的各种算法,虽然种类繁多,方法也层数不穷,但基本的算法离不开增量法和分治法[16]。目前现有的算法还不能解决所有问题,比如边界一致性和稳定性、凹边界和孔域精确划分等。


 

 
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西安交通大学 机械工程学院 模具与先进成形技术研究所 信息机电研究所
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